Standardabweichung berechnen
Standardabweichung, Varianz und Mittelwert sofort online berechnen – Werte einzeln eingeben oder als Liste einfügen.
Werte eingeben
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Standardabw. σ
–
Population
Varianz
–
σ²
Mittelwert x̄
–
Arithmetisches Mittel
Anzahl n
–
Werte
Minimum
–
Kleinster Wert
Maximum
–
Größter Wert
Spannweite
–
Max − Min
Median
–
Zentralwert
Variations-koeff.
–
σ / x̄ × 100
Werteverteilung & Standardabweichung
Was ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung (σ oder s) ist das wichtigste Streuungsmaß der Statistik. Sie gibt an, wie weit die einzelnen Werte eines Datensatzes im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt liegen – also wie stark die Daten „streuen".
Faustformel: Kleine σ = Werte liegen eng beisammen. Große σ = Werte sind weit gestreut. Eine σ von 0 bedeutet: alle Werte sind identisch.
Sie wird unter anderem in der Schule, in Wissenschaft, Medizin, Qualitätskontrolle und Finanzanalyse verwendet – überall dort, wo man verstehen will, wie verlässlich oder schwankend ein Messwert ist.
Schritt-für-Schritt-Berechnung
1
Mittelwert berechnen
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n – alle Werte addieren, durch die Anzahl teilen.
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n – alle Werte addieren, durch die Anzahl teilen.
2
Abweichungen quadrieren
Für jeden Wert xᵢ: (xᵢ − x̄)². Das Quadrieren macht alle Abweichungen positiv und gewichtet große Abweichungen stärker.
Für jeden Wert xᵢ: (xᵢ − x̄)². Das Quadrieren macht alle Abweichungen positiv und gewichtet große Abweichungen stärker.
3
Varianz berechnen
σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n (Population) oder s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1) (Stichprobe).
σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n (Population) oder s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1) (Stichprobe).
4
Wurzel ziehen
σ = √(σ²) – die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Sie hat damit dieselbe Einheit wie die Originaldaten.
σ = √(σ²) – die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Sie hat damit dieselbe Einheit wie die Originaldaten.
Die Formeln
Populations-Standardabw. σ
σ = √[ Σ(xᵢ−x̄)² / n ]
Stichproben-Standardabw. s
s = √[ Σ(xᵢ−x̄)² / (n−1) ]
Varianz σ²
σ² = Σ(xᵢ−x̄)² / n
Mittelwert x̄
x̄ = Σxᵢ / n
Variationskoeffizient VK
VK = (σ / x̄) × 100 %
Standardfehler SE
SE = s / √n
Population oder Stichprobe – wann was?
Der Unterschied liegt im Nenner: n oder n−1.
- Population (÷ n): Wenn die Daten die vollständige Grundgesamtheit darstellen – z. B. alle Testergebnisse einer Schulklasse oder alle Messwerte eines Experiments.
- Stichprobe (÷ n−1): Wenn die Daten nur ein Teil einer größeren Grundgesamtheit sind – z. B. eine Umfrage unter 100 Personen, um Aussagen über die gesamte Bevölkerung zu machen. Die Bessel-Korrektur (n−1) liefert einen unverzerrten Schätzer.
- Faustregel: Im Schulunterricht und bei abgeschlossenen Datensätzen → Population. In der Wissenschaft und bei Stichprobenauswertungen → Stichprobe.
68-95-99,7 Regel: Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 % der Werte innerhalb von ±1σ vom Mittelwert, 95 % innerhalb von ±2σ und 99,7 % innerhalb von ±3σ.
Anwendungsbeispiele
- Schule & Noten: Wie stark streuen die Noten einer Klasse um den Klassendurchschnitt?
- Finanzmarkt: Die Volatilität von Aktien wird als Standardabweichung der täglichen Renditen gemessen.
- Qualitätskontrolle: Produktionsmaschinen werden anhand der Streuung der Maßtoleranzen bewertet (Six Sigma).
- Medizin: Normalwerte für Blutwerte werden als Mittelwert ± Standardabweichung angegeben.
- Klimaforschung: Temperaturabweichungen vom langjährigen Mittel werden als σ-Werte ausgedrückt.
- Sport: Streuung von Leistungen eines Athleten über mehrere Wettkämpfe.
Häufige Fragen
Die Standardabweichung (σ) ist ein Maß für die Streuung von Werten um ihren Mittelwert. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte dicht beieinander liegen. Eine große bedeutet, dass sie weit gestreut sind.
1. Mittelwert berechnen. 2. Für jeden Wert die quadratische Abweichung vom Mittelwert berechnen. 3. Durchschnitt dieser quadratischen Abweichungen bilden (= Varianz). 4. Wurzel aus der Varianz ziehen (= Standardabweichung).
Bei der Populations-Standardabweichung (σ) wird durch n geteilt. Bei der Stichproben-Standardabweichung (s) wird durch n−1 geteilt (Bessel-Korrektur). Die Stichprobenvariante liefert einen unverzerrten Schätzer für die Grundgesamtheit.
Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n. Sie gibt die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert an. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die Ausgangsdaten.
Der Variationskoeffizient (VK) ist σ / x̄ × 100 %. Er ermöglicht den Vergleich der Streuung zwischen Datensätzen mit unterschiedlichen Einheiten oder Größenordnungen – zum Beispiel Körpergewicht vs. Körpergröße.
Bei einer Normalverteilung liegen ca. 68 % der Werte innerhalb von ±1σ, ca. 95 % innerhalb von ±2σ und ca. 99,7 % innerhalb von ±3σ vom Mittelwert. Diese Regel ist fundamental für statistische Auswertungen.